Umsatzsteuer bei Handwerks- bzw. Bautätigkeit im Ausland

Ich bin Handwerker mit Sitz Deutschland. Wir renovieren derzeit für einen Auftraggeber Wohnungen in Österreich. Wir beschaffen das Material vor Ort in Österreich und bauen es dort ein. Der Auftrag läuft ca. 6 - 8 Wochen, so lange sind wir dort auf der Baustelle. Aus Deutschland haben wir nur das Werkzeug und die Maschinen mitgebracht, die wir später wieder mit zurücknehmen.

(Tätigkeiten: Entrümpelung, Ausbau, Ensorgung, Wände ziehen, Decken abhängen, Bodenbeläge, Küchen-/Sanitäreinbau etc.)

Der Auftraggeber (Eigentümer der Wohnungen) wohnt in einem Drittland (Nicht-EU). Er hat aber eine österreichische Umsatzsteuer-ID, da er dort Wohnungen vermietet, darauf fällt in Österreich Umsatzsteuer an.

Ich muss jetzt die 1. Rechnung stellen.

Muss ich dem Kunden Umsatzsteuer berechnen? Ist das Ganze umsatzsteuerfrei?
Er sagt, dass es ihm komisch vorkommt, wenn ich deutsche Umsatzsteuer berechne, da er die Steuer ja als Vorsteuer gegenüber dem österreichischen Finanzamt geltend machen muss.