Nachzahlung Arbeitslohn im Folgejahr dadurch zwei LohnstBesch mit StKl I gleichzeitig

Ich habe unterschiedliche Arbeitgeber in 2020 und 2021, jeweils StKl. I.

Mein alter Arbeitgeber hatte mir fälschlicherweise in Okt-Dez 2020 zu wenig Gehalt berechnet. Dies fiel erst 2021 auf, weshalb er eine Gehaltsabrechnung (Bescheinigungszeitraum Februar 2021) erstellte, auf der die zu wenig bezahlte Summe nachträglich abgerechnet wurde.

Meine Steuererklärungssoftware bemängelt jetzt, dass ich nicht zwei Lohnsteuerbescheinigungen gleichzeitig mit StKl. I haben kann (einmal Jan-Dez 2021 vom neuen Arbeitgeber und einmal Feb 2021 vom alten Arbeitgeber). Auf Rückfrage bei dem alten Arbeitgeber bekam ich die Antwort:

"Da es sich um die Nachzahlung von laufendem Arbeitslohn handelt (R 39b.2 Abs. 1 LStR), ist hier stets die zum Ende des Lohnzahlungszeitraums gültige Lohnsteuerklasse zu Grunde zu legen (R 39b.5 Abs. 1 Satz 3 LStR). Wir haben nachgeschaut und es wurde für Februar keine Neuanmeldung im ELStAM vorgenommen."

Ist das so korrekt und ich gebe jetzt eine Steuererklärung mit zwei Lohnsteuerbescheinigungen ab, mit sich überschneidenden Bescheinigungszeiträumen für StKl. I? Erkennt das Finanzamt durch die fehlende Anmeldung im ELStAM, dass es sich um eine Nachzahlung handelt? Sollte ich im Anschreiben an das Finanzamt den Umstand noch einmal erklären? Oder wie wäre das optimale Vorgehen in diesem Fall?