private Vermietung über booking.com im Ausland - Umsatzsteuer per reverse charge auf die Provision?

Ich (deutscher mit Wohnsitz in Deutschland) vermiete eine Ferienwohnung in Kroatien, unter anderem über booking.com, mit Einnahmen von ca. 5000 EUR im Jahr.
Ist laut meinem normalen Steuerberater eine private Vermietung, keine Gewerbe (einzelne Wohnung, keine Zusatzleistungen etc). Die Versteuerung der Einnahmen passiert in Kroatien (pauschale Bettensteuer), damit für den deutschen Fiskus dank Doppelbesteuerungsabkommen irrelevant.
Soweit alles OK.

Jetzt die Problematik:
booking.com ist ein niederländisches Unternehmen. Auf die Provision, die booking.com von mir kassiert, führt booking.com keine Mehrwertsteuer ab, sondern verweist darauf, dass wegen grenzüberschreitenden Geschäften ich dafür verantwortlich bin, nach reverse charge Verfahren.

1) Ich bin bei booking.com als privater Vermieter, nicht gewerblich angemeldet. Muss ich mich überhaupt darum kümmern, ob booking.com Mehrwertsteuer auf die Provision bezahlt? Sprich, darf booking.com mich als privaten Vermeiter mit reverse charge belasten?

Wenn ja:
2) Falls ich die Mehrwertsteuer auf die Provision zahlen muss - an welches Land? An Kroatien (dort wird die Wohnung vermietet, und dort werden die Einnahmen versteuert), oder an Deutschland (dort wohne ich, und mit der deutschen Adresse bin ich bei booking.com angemeldet)?

3) Wie bezahle ich die Umsatzsteuer? Als Privatperson zahle ich ja keine Umsatzsteuer. Muss ich jetzt extra ein Gewerbe anmelden (das dann Null in Deutschland zu versteuernde Einnahmen hat), nur um die Mehrwertsteuer zu bezahlen?

Vielen Dank für Ihre Antworten!