Leistungsempänger als Steuerschuldner

Hallo,
ich betreibe seit 3 Monaten ein Küchenstudio in Bonn. Ich liefere Einbauküchen, welche durch ein von mir beauftragtes Subunternehmen eingebaut werden. Der Kunde erhält von mir eine Rechnung über die Lieferung und Montage mit USt-Ausweis.
Der Subunternehmer schreibt mir auch eine Rechnung mit USt-Ausweis.
Die Montage der Küche macht in der Rechnung etwa 10% des Gesamtpreises für den Kunden aus, wird aber nicht extra ausgewiesen.
Jetzt habe ich Küchen an einen Kunden geliefert u eingebaut, der selbst Bauunternehmner ist und eine Rechnung nach § 13b UStG verlangt. Ich hab argumentiert, dass die Lieferung der Küche im Vordergrund steht und der Einbau der Küche als Nebenleistung das Schicksal der Hauptleistung teilt und damit die gesamte Rg ust-pflichtig ist.
Ist das richtig oder muss ich meine Rg berichtigen und alles ohne USt in Rg stellen oder muss ich die Rg teilen in Lieferung und Montage? Rechnet mein Subunternehmner richtig ab oder muss er mir Rechnungen nach § 13b UStG ausstellen?

Freundliche Grüsse